量化的分子動力模型The Quantitative Kinetic Molecular Model(三)

化學原理啟迪77

徐弘毅：

1.      如果我們能夠知道，在某個大小容器裡，一顆氣體粒子碰撞容器牆壁的力量，那就可以依此類推一萬顆、一億顆或一兆顆氣體碰撞的力量。

2.      上一節邏輯推理出，在邊長是L的正方體容器裡，一顆粒子彈撞一次「垂直x軸的2面牆壁」的力量：動能變化change in momentum＝2mux。

3.      又知道一顆粒子撞擊牆壁的「頻率」，次數愈多，撞擊的力量愈大。

4.      所以，把每次撞擊的力量和撞擊的次數（頻率）合在一起計算，就可以得到一顆粒子到底用多大的力量撞擊牆壁。

以下是Steven S. Zumdahl 的《化學原理Chemical Principles》的推理：

1.      複習一下，力就是每單位時間的動能變化，因此

Forcex=Δ(mux)/ Δt

因為承受粒子撞擊的牆面是與x軸垂直的。

2.      所以，我們把「每一次撞擊的動能變化」×「每單位時間的撞擊次數」，可以得到跟上面那個方程式一樣的結果

Forcex   =   (2mux)   (ux/L)   =   每單位時間的動能變化

每一次撞擊的動能變化 每單位時間的撞擊次數

也就是  Force x =2mux²/L

徐弘毅：

1.       2mux²/L，為什麼是「粒子」施加在「與x軸垂直的平面」的「力」？

2.       我們先解釋一顆氣體粒子的動能。在一個邊長是L的立方體容器裡面，裝有1顆自由活動的氣體粒子。

3.       (a) 這個粒子的運動速率與方向設定為u，我們可以把u分解成三個方向的動作：平行x軸、平行y軸和平行z軸的運動速率與方向；ux就是這個粒子朝平行x軸方向的運動與速率。因為粒子撞到壁面會反彈，所以，還有第二種平行x軸方向的運動與速率：-ux。

4.       (b) 然後，我們要找出u和ux的關係。

5.       畢達哥拉斯發現，把直角三角形2個邊長的平方面積相加，就等於斜邊長的平方面積。同樣的道理放到三度空間中，就是直角邊長ux、uy、uz的3個平方面積相加，等於斜邊長u的平方面積。

6.       所以，依據畢達哥拉斯定理，我們發現，ux²是u²的組成成分：u² ＝ ux² + uy² + uz ²。

7.       (c)氣壓的定義是，粒子對容器壁面撞擊的力量。粒子對「與x軸垂直的壁面」的撞擊力量，就是這個粒子從原本的速率ux減速到0的過程，就像一段煞車痕，我們可以把它畫成一段長度ux的數線。

8.       牛頓說：作用力等於反作用力。這個粒子撞到壁面後反彈，所以我們可以想成，在壁面的背後有無形的力量，讓粒子從速度0加速恢復到速率ux，這個反作用力，可以畫成另一段數線ux。

9.       所以，容器壁面所承受的壓力，就是這二股力量交互作用而成，所以，容器壁面的壓力=ux × ux ＝ ux²。

10.   特別注意以下幾點：1.容器是一個「面」，粒子施加在面上的「點」狀力量會平均分散到「面」上，所以，作用力ux與反作用力ux施加在面上的總力量，並不是ux+ux，這是同一條直線上的二個力量相加，而是ux²作用力與反作用力交織而成的力網。

11.   2.我們研究的重點是壁面承受的壓力，不是壁面會因為粒子的撞擊而往哪個方向移動，「作用力」與「反作用力」的方向不重要，所以，反作用力的「-」號可以省略。

12.   我們把第9點與第6點結合之後，發現ux² 就是粒子撞擊到容器壁面的壓力。

13.   我們知道「垂直於x軸的壁面」有2個，所以，一個運動速率與方向u的粒子，它對「垂直於x軸的壁面」施加的壓力要×2；也就是，一個無質量的粒子朝平行x軸方向的運動與速率ux，產生的氣壓是2ux²。

14.   但是我們對物質的定義是擁有質量、體積的東西，所以，氣體粒子應該是有質量的，因此，「粒子動能」，還要注入「粒子的質量」，才是它對容器器壁施加的總力量：2 mux²。

15.   壓力是指以L為長度的立方體中，一個氣體粒子對「垂直於x軸的平面」，平均每單位長度施加的「力」。

16.   為什麼粒子「每次撞擊的力量」×「每單位時間撞擊的次數」＝「立方體每單位長度承受粒子的撞擊力量」：Forcex=(2mux)(ux/L)=2mux²/L？

17.   這個問題令人感到奇怪的地方就是，每單位時間的撞擊總力量，為什麼會跟每單位長度承受粒子的總力量相等，時間單位為什麼會跟空間的長度單位相提並論?

18.   首先，我們要思考，對這個粒子來說，什麼是每單位時間？

19.   我們設定的粒子在一個邊長是L的立方體中活動，這個粒子活動一定會受限於立方體的空間大小，因為它往x、y、z方向的運動，每跑過L距離，就必須減速為0，改變運動方向折返(反彈)。

20.   因為我們設定粒子反彈後的速度也是一樣，所以，這個粒子完整跑一圈是2L；也就是說，在L為邊長的立方體空間中，粒子運動的半週期是L，全周期是2L。粒子運動的單位時間就是立方體的單位邊長。

21.   「每次撞擊的力量」×「每單位時間撞擊的次數」＝「立方體每單位長度承受粒子的撞擊力量」：Forcex=(2mux)(ux/L)=2mux²/L。這是合理的。