指數第三定律：最小單位面積與長寬相乘的面積

數學啟迪10

1.      指數律第三個規則： (ab)ⁿ= aⁿ×bⁿ

2.      同樣地，我們要用實際的例子來說明，比較清楚。假設a是「2」，b是「3」，n是「3」。

3.      為了讓數字更有感覺一點，我們把「2」想成一組長方形藍色彩磚的寬，「2」代表構成「寬」的「2塊藍色小彩磚」，另外把「3」想成這個藍色長方型彩磚的長，「3」代表構成「長」的「3塊藍色小彩磚」，圖中左下角的方塊，就是「2×3」。

4.      「2×3」彩磚由6個小彩磚組成，所以，鋪地磚的師傅，用6為倍數單位來鋪設，來保持圖型的規則性。

5.      意思就是，第一次先鋪6塊小彩磚，組成一個長方形彩磚，第二次用第一次鋪好的彩磚為樣本，複製成6倍面積。複製的結果就是(2×3)²，圖中間的藍色方塊。

6.      第三次鋪設的時候，再把第二次鋪出的彩磚，複製擴展成6倍的面積，鋪出來的結果就是(2×3)³，這是圖右邊最大的藍色方塊。

7.      鋪地磚的師傅發現，同樣的施工面積，還有另一種鋪法，那就是先鋪好施工地橫排的彩磚，再鋪直行的彩磚，然後一一填滿中間空缺的部分。

8.      這種彩磚是以6塊為一組，「寬」是固定的2種藍色彩磚，所以，師傅先在施工地的橫排鋪第一組的2塊彩磚，用數學「2¹」來表示。

9.      然後，第二次鋪設的時候，複製第一次的彩磚成2倍面積；第三次鋪設的時候，複製第二次鋪設的彩磚成2倍面積；連續三次把原本的面積擴展成2倍，這就是2³。

10.  接著，師傅鋪施工地的直行，因為這種彩磚是以6塊為一組，「長」是固定的3種藍色彩磚，所以，第一次鋪設就是按照設計圖鋪好3塊彩磚。

11.  第二次鋪設就是複製第一次鋪圖形，拓展成3倍；第三次鋪設繼續，複製第二次鋪設的圖形，拓展成3倍，這個執行過程用數學來表達就是3³。

12.  長跟寬都確定以後，再把逐一把所有空間填滿地磚。這用數學來表是，就是2³×3³。

13.  所有磚塊的大小都一樣，比較這二張圖就會發現，用這個方法鋪出來的磚塊數量，跟前一個方法的磚塊數量是一樣的。

14.  但是，(2×3)³與2³×3³鋪設的程序不同，對老練的師傅來說，哪一種方法都一樣好，但是對新手來說，就有差別，你覺得哪一種鋪法比較容易呢?是不是用(2×3)³的方法，比較不會把六塊一組的彩磚顏色弄亂呢？

徐弘毅6.5.2010