速率的均方根(三)

化學原理啟迪88

徐弘毅：

1.   一個容器裡，所有氣體粒子撞擊牆壁一次，帶給容器全部的壓力，與「溫度」有關。溫度愈高，粒子的運動速率愈快、動能愈強，溫度愈低，粒子的運動速率愈慢、動能愈弱。

2.   一個容器裡，1莫耳氣體粒子的「溫度」，與容器全部壓力變化的比例關係是「常數R」。(注：全部壓力，指的是整個容器得到的總壓力，而不是平均每單位面積的壓力。)

「1莫耳氣體粒子的溫度」×「溫度換算成容器全部壓力的常數比例」

=「1莫耳氣體粒子的壓力」×「體積」

=「1莫耳氣體粒子平均動能」的2/3倍

3.   1莫耳粒子的平均動能，是「某個溫度之下，1莫耳粒子造成的全部壓力」的幾分之幾倍？套用前面推論所得的結論：

4.   「1莫耳氣體粒子平均動能」

=「1莫耳氣體粒子對容器造成的全部壓力」的3/2倍

=「1莫耳氣體粒子的溫度換算成容器全部壓力」的3/2倍

5.   而撞擊容器牆壁的「1莫耳粒子的動能」，就是「1顆粒子的動能，累加到1莫耳顆粒子的結果」:

「1莫耳氣體粒子平均動能」

=「1莫耳的粒子數」×「1顆粒子的平均動能」

注1：NA是1莫耳的粒子數目6×10²³顆。

6.   合併以上二個公式，「1莫耳粒子的全部動能」就是「在某個溫度下的容器全部壓力的3/2倍」：

7.   這樣我們就能從氣體的溫度和粒子的數量，推斷出粒子的「方向與速率」造成的力量大小；等式二邊的符號經過調整，得到以下結果：

8.   粒子「平均速率與方向」的平方=「1莫耳粒子」在「某個溫度下帶給容器的全部壓力」，乘「3倍」，再扣除掉力量當中「質量」的成分：

9.   以上這個公式有二點值得注意：(1)尋找粒子的運動速率的時候，我們把容器中1莫耳粒子的「全部壓力」(RT/NA)乘「3倍」，是因為當初計算壓力的時候，我們把粒子撞擊牆壁1次的看成是撞擊3次。

10.     我們把粒子撞擊牆壁1次，看成是撞擊牆壁3次，是因為粒子的移動速率與方向，是由三個方向的速率構成的，所以由三個方向的力量集合的撞擊點，等於是撞擊三面牆壁各1次，簡化為撞擊3次。

11.     (2)為什麼從容器全部壓力，恢復成粒子的「平均動能」要「除二 / ÷2」，但是恢復成「速率」，卻不用「乘」也不用「除」？

12.     因為我們測量「動能」的方法是拿一個平面攔截運動中的粒子，看粒子單純撞擊平面、沒有反彈的力量是多少，為了扣除攔截平面的讓粒子反彈的反作用力，必須「除二/÷2」；

13.     但是「運動速率」是指「每單位時間移動的距離有多遠」。所以，只要把1莫耳粒子的動能(3RT/NA)扣除掉「質量」的部分「÷m」就可以了。

14.     這樣得到的是，粒子單純以「速率與方向u」撞擊容器牆壁1次，讓容器牆壁承受的「全部壓力」(注)，這裡面包括粒子「運動速率與方向」的作用力和牆壁的反作用力。

注：這裡說的「全部壓力」，是指容器牆壁承擔1莫耳粒子「速率」的撞擊力與牆壁的反作用力，二個加起來的力量，而不是嚴格定義的「壓力」，嚴格定義的「壓力」是指「容器牆壁每單位面積分配到的力量大小」。

15.     所以，把容器牆壁承受的「全部壓力」，排除掉牆壁反作用力，就得到粒子的「速率與方向」的力量，這就是「方均根速率」：

16.     「3RT」是「1莫耳粒子的撞擊容器牆壁一次造成的全部壓力」；「M」是「1莫耳氣體的質量」；「3RT/M」是「1莫耳粒子的『移動速率與方向』，撞擊容器牆壁造成的『整體壓力』」。

17.     『整體壓力』指的是粒子以『速率與方向』撞擊的力量與容器牆壁的反作用力，二種力量交互作用的結果。我用『整體壓力』或『全部壓力』來描述，是為了跟一般定義的「壓力」有所區別，『壓力』是平均每單位面積的力量，『整體壓力』是整個面積承受的全部力量。

18.     「3RT/M」開根號√，就是「1莫耳粒子的『移動速率與方向』」。