指數與乘法的差異：彩色玄關

數學啟迪5

1.     指數與乘法的差異，舉例來說，有個設計師應客戶的要求，設計一面由3種顏色的彩磚組成的牆面，這個牆面橫排可以鋪5塊彩磚。客戶是一家有魔術表演的餐廳老闆，他希望演出餐廳入口的玄關，可以創造出活潑又嚴謹的氣氛。

2.     第一排的5塊彩磚，按照紅、黃、綠的順序由左往右貼，這種井然有序的貼法，是按照固定順序的三種顏色進行，所以「底數」稱為「3」，可以寫成3^x，^x是任意的正整數。。

3.     接著，工人按照第一排彩磚的模式往下貼，但是設計師不希望牆壁太呆版，每一行的顏色都一樣，也不希望排列得太凌亂，顏色分布雜亂無章。

4.     所以，設計師告訴工人，複製時候每一行的顏色要不同，由上往下按照紅、綠、黃的順序貼，貼完三排之後，再按照前三排的樣本複製往下貼成3倍面積，這樣牆壁就剛好填滿。

5.     由上往下按照紅、綠、黃的順序貼，這是由上往下按照固定順序貼三種顏色的彩磚，底數是「3」；貼完3排之後，再按照前3排的樣本，往下貼成3倍面積，這也是以「3」為底數。

6.     按照這個方法，每種顏色的彩磚都成為一條由左上方往右下方延伸的斜線條紋，這是因為貼磚的方法，都是以3種顏色的「3」為基數：

7.     一、由左往右，用指定順序的3顏色為一組。二、由上往下，用指定順序的3個顏色為一組。三、從上往下拼貼牆面的時候，不斷地把原本的面積複製3倍。用數學來表達，「3」就是「底數」。

8.     假如我們定義第一排彩磚為「3¹」，把第一排複製3倍成三排是「3²」，再把三排複製3倍是「3³」。這個圖案規則、充滿次序的牆面，用數學來表達，就是「3³」。

9.     設計師的另一個客戶，他也希望做一個三色彩磚的牆面，但是不希望太死板，因為他經營的是pub，玄關的牆面要營造自由、無拘無束的氣氛。

10.  設計師選了紅、藍、黃三種顏色，貼出第一排的5塊磚，然後隨意挑選貼出第二排，總共貼了9排，他按照自己的藝術直覺，自由地排列這9排彩磚的順序。

11.  顏色的變化種類共有3種，共有9排可以任意排列，所以這面牆的數學描述是「3×9」。特別注意，這是指顏色的變化，不是指磚塊的數量。

12.  乘法的概念，「3」隨意從3種顏色的彩磚中挑選，沒有指定這3種顏色彩磚的排列順序，每一排的彩磚不一定都具備3種顏色，3只說明設計師有3種顏色的彩磚可以選擇。

13.  「9」是隨意做出9排的彩磚，這9排沒有指定以哪一排為標準來複製，也沒有指定每一排的拼貼順序。

徐弘毅2010.5.11